Orthogonale Abbildung

Eine orthogonale Abbildung oder orthogonale Transformation ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei reellen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhält. Orthogonale Abbildungen sind stets linear, injektiv, normerhaltend und abstandserhaltend. Im euklidischen Raum können orthogonale Abbildungen durch orthogonale Matrizen dargestellt werden und beschreiben Kongruenzabbildungen, beispielsweise Drehungen oder Spiegelungen. Die bijektiven orthogonalen Abbildungen eines Skalarproduktraums in sich bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung eine Untergruppe der Automorphismengruppe des Raums. Die Eigenwerte einer solchen Abbildung sind nicht notwendigerweise reell, sie besitzen jedoch alle den komplexen Betrag eins.

Eine bijektive orthogonale Abbildung zwischen zwei Hilberträumen wird auch orthogonaler Operator genannt. Die entsprechenden Gegenstücke bei komplexen Skalarprodukträumen sind unitäre Abbildungen und unitäre Operatoren. Von orthogonalen Abbildungen zu unterscheiden sind zueinander orthogonale Funktionen, beispielsweise orthogonale Polynome, welche als Vektoren in einem Funktionenraum aufgefasst werden und dadurch charakterisiert sind, dass ihr Skalarprodukt null ist.

Eine Abbildung





f


:



V






W




{\displaystyle f\colon V\to W}


zwischen zwei reellen Skalarprodukträumen





(


V


,










,












V




)




{\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{V})}


und





(


W


,










,












W




)




{\displaystyle (W,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{W})}


heißt orthogonal, wenn für alle Vektoren





u


,


v






V




{\displaystyle u,v\in V}


gilt. Eine orthogonale Abbildung ist demnach dadurch charakterisiert, dass sie das Skalarprodukt von Vektoren erhält. Insbesondere bildet eine orthogonale Abbildung zueinander orthogonale Vektoren





v




{\displaystyle v}


und





w




{\displaystyle w}


(also Vektoren, deren Skalarprodukt null ist) auf zueinander orthogonale Vektoren





f


(


v


)




{\displaystyle f(v)}


und





f


(


w


)




{\displaystyle f(w)}


ab.

Die identische Abbildung

ist trivialerweise orthogonal. Im euklidischen Raum







R




n






{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}


sind orthogonale Abbildungen gerade von der Form

wobei

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Q








R




n


×



n






{\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}


eine orthogonale Matrix ist. Im Raum











2






{\displaystyle \ell ^{2}}


der quadratisch summierbaren reellen Zahlenfolgen stellt beispielsweise der Rechtsshift

eine orthogonale Abbildung dar. Weitere wichtige orthogonale Abbildungen sind Integraltransformationen der Form

mit einem geeignet gewählten Integralkern





K




{\displaystyle K}


. Beispiele sind die Sinus- und die Kosinustransformation, die Hilbert-Transformation und die Wavelet-Transformation. Die Orthogonalität solcher Transformationen folgt dabei aus dem Satz von Plancherel und dessen Varianten.

Im Folgenden werden die Zusätze





V


,


W




{\displaystyle V,W}


bei den Skalarprodukten weggelassen, da durch das Argument klar wird, um welchen Raum es sich jeweils handelt.

Eine orthogonale Abbildung ist linear, das heißt für alle Vektoren





u


,


v






V




{\displaystyle u,v\in V}


und Zahlen





a


,


b







R





{\displaystyle a
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,b\in \mathbb {R} }


gilt

Es gilt nämlich aufgrund der Bilinearität und der Symmetrie des Skalarprodukts

sowie

Aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann die Additivität und die Homogenität der Abbildung.

Der Kern einer orthogonalen Abbildung enthält nur den Nullvektor, denn für





v






ker






f




{\displaystyle v\in \operatorname {ker} f}


gilt

und aus der positiven Definitheit des Skalarprodukts folgt daraus dann





v


=


0




{\displaystyle v=0}


. Eine orthogonale Abbildung ist demnach stets injektiv. Sind





V




{\displaystyle V}


und





W




{\displaystyle W}


endlichdimensional mit der gleichen Dimension, dann gilt aufgrund des Rangsatzes

und somit ist

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